Beslutningen betyr at Rivlin mener det er Netanyahu som har best sjanser til å klare å danne en ny koalisjonsregjering.
Netanyahu har nå i første omgang 28 dager på seg til å få en ny regjering på plass.
Det endelige valgresultatet viser at statsministerens høyreparti Likud har sikret seg ytterligere ett mandat i Knesset.
Likud fikk 32 representanter i den israelske nasjonalforsamlingen, ikke 31, viser fintellingen. Partiet må likevel se seg slått av sentrumsalliansen Blått og hvitt som sikret seg 33 representanter.
Ingen av de to blokkene har tilstrekkelig støtte fra andre partier til å kunne danne regjering, noe som krever tilslutning fra 61 av de 120 representantene i Knesset. Netanyahu har 55 i ryggen, Gantz 54.
Netanyahu og hans hovedrival Benny Gantz har vært i møte med presidenten i ettermiddag. De har blant annet diskutert en mulig samlingsregjering.
Gantz har tidligere sagt nei til å sitte i regjering med korrupsjonssiktede Netanyahu, men skal nå være på glid.
Israelsk politi har siktet Netanyahu for bestikkelser, bedrageri og økonomisk utroskap, og Israels riksadvokat Avichai Mandelblit har anbefalt at det tas ut tiltale.
2. oktober må Netanyahu stille til rettslig høring, og det ventes at denne vil bli etterfulgt av en formell tiltale.
- LES OGSÅ: