Det er Giske selv som har bedt partilederen om å få posten, melder VG.
Avisen har flere kilder som hevder at Marthinsen ønsker å fortsette i samme posisjon, men at Støre i stedet har tilbudt henne verv i andre komiteer i bytte mot posten i finanskomiteen på Stortinget.
Ifølge VG har også Aps andre nestleder, Hadia Tajik, gitt uttrykk for at hun vil være ukomfortabel med en situasjon der Giske vil ha et slikt verv.
– Så lenge Hadia og Trond har vært nestledere, har det vært viktig at ingen av dem har hatt denne posten. Det har sikret en maktbalanse mellom de to, sier en ikke navngitt kilde.
Arbeiderpartiets sentralstyre har nedsatt en valgkomité som skal legge kabalen for partiets stortingsgruppe. Første møte er tirsdag morgen.
– Vårt oppdrag er å sette sammen en best mulig gruppe. Vi har ikke formelt startet vårt arbeid, men det vil skje på samme måte som tidligere år, sier komiteens leder, partisekretær Kjersti Stenseng.
Verken Støre, Giske, Tajik eller Marthinsen har ønsket å kommentere saken.
– Har ført til reaksjoner i stortingsgruppa
– Det er riktig at Trond Giske har bedt om å få vervet som finanspolitisk talsperson, og at det har ført til reaksjoner i stortingsgruppa, sier NRKs politiske kommentator Magnus Takvam.
Ifølge Takvam har Ap ikke konkludert på om Giske skal overta vervet. Valgkomiteen jobber i halvannen uke til, og det er ikke fattet noen beslutning foreløpig.
– I partiledelsen ser man det ikke som lite aktverdig at nestlederen i partiet ber om posisjonen, men Trond Giske er en veldig omstridt person i Arbeiderpartiet og stortingsgruppa, og derfor har dette ført til reaksjoner internt i stortingsgruppa.
– Det er ikke nødvendigvis en maktkamp, men når noen internt oppfatter det som maktkamp, så er også det et problem, sier NRKs politiske kommentator.
Støre: – Vi er et veldig samlet parti
Aps leder Jonas Gahr Støre ønsker ikke direkte å kommentere påstandene.
– Nå skal våre 49 stortingsrepresentanter fordele ansvar, og alle har meldt inn hvor de ønsker å være, og den kabalen skal vi begynne å legge, sier Støre til NRK.
Han sier Aps valgkomite ikke har avgjort noe.
– Vi er veldig samlet som parti. Vi var samlet om program og valgkamp, og vi kommer til å være samlet i det som skjer videre, men at det blir diskusjoner om hvordan vi best setter sammen et lag, synes jeg ikke er så unaturlig, og det skal vi håndtere på en god måte.
– Har du det samlende til å få partiet med deg til å gjøre tøffe valg?
– Det tror jeg. Det er ikke en enkelt persons arbeid, men et lag som må få til det. Jeg opplever at laget er godt samlet, og at vi skal kunne ta de tøffe valgene som trengs.