Enrique kommer fra trenerjobben for Barcelonas B-lag.
Ifølge kilder nær eierne av klubben har Roma bekreftet at avtalen med spanjolen er klar, melder nyhetsbyrået AFP, men de siste signaturene på kontrakten skal gjenstå.
Les også:
Signerte for to år
Ifølge italienske medier vil avtalen gi ham en netto årslønn på minst 1,5 millioner euro. Enrique skal ha underskrevet for to år for Riises klubb.
Med seg til Italia vil Enrique ta med seg den offensive spillestilen han har lært i Barcelona.
John Arne Riise beskriver nyheten som interessant og ønsker spanjolen velkommen.
- Jeg hadde ikke hørt om det før nå, men det kan bli spennende. Han var en stor spiller og har gått skolen i Barcelona. Det blir interessant, sa Riise i pressesonen på Ullevaal etter tirsdagens landskamp mot Litauen
Tung sesong for laget
Roma har lagt bak seg en tung sesong og endte som nummer seks i serie A.
Trener Claudio Ranieri trakk seg i februar, og laget ble så trent av Vicenzo Montella på midlertidig basis.
Riise signerte for Roma i juni 2008, da han gikk fra Liverpool. Han har den siste tiden antydet at han ikke utelukker mer spill på Anfield.
– Jeg har kontrakt her (Roma) til 2012, og man vet aldri, har Riise sagt.