Får Abelpris for etterlengta bevis

Ta en titt på denne ligninga: xⁿ+yⁿ = zⁿ. Velg en verdi for n som er et hvilket som helst naturlig tall større enn to. Får du til å løse den ved å finne positive heltall for x, y og z? Nei, det gjør du ikke, for det er rett og slett umulig.

"Jeg har et virkelig bemerkelsesverdig bevis for denne setningen, men denne margen er ikke stor nok til å romme det", skrev den franske amatørmatematikeren Pierre de Fermat i margen på sin kopi av Arithmetica i 1637.

• Les: Arven etter Einstein

Setninga Fermat hevda å ha funnet bevis for sier at det ikke finnes noen positive heltall som løsning på ligninga xⁿ + yⁿ = zⁿ, der n er større enn to, og kalles Fermats siste teorem. Det skulle ta 358 år før noen faktisk klarte å bevise den, og det har ikke vært fordi folk ikke har prøvd.

Andrew Wiles fikk øynene opp for det legendariske problemet allerede da han var ti år gammel. Som 41-åring løste han det endelig, og snart kan den 62 år gamle britiske matematikeren motta Abel-prisen for sin matematikkbragd.

Et bevis utenfor rekkevidde

Vi kan like gjerne innrømme det med en gang, det er ikke noe vits i å prøve å gå i dybden på selve beviset som Wiles la fram – de færreste matematikere skjønner særlig mye av det. Vi kan derimot se nærmere på både problemet og veien mot løsninga.

Vi starter med ligninga xⁿ + yⁿ = zⁿ. Hvis du setter n=1 så sier ligninga egentlig bare at du kan skrive summen av to hele tall som et helt tall, noe som er forholdsvis opplagt. Summen av to hele tall blir alltid et helt tall, for eksempel 1 + 2 = 3 eller 3976 + 98456723 = 98460699.

Setter du n=2 får du formelen for sidene i en rettvinkla trenkant, kanskje bedre kjent som Pytagoras' læresetning. Vi vil fortsatt ha hele tall, men heller ikke her er det noe problem, for eksempel 3² + 4² = 5² og 8² + 15² = 17².

• Les: ​– I praksis uendelig hastighet

Nå er det på tide å hente inn eksperthjelp, vi lar Arne B. Sletsjøe, matematiker ved UiO, forklare:

– Én måte å tenke på det på er at det er nok tall. Ser du på alle tall opp til 10.000 så kan 2691 av dem skrives som en sum av to kvadrater. Og så er det 100 tall som er kvadrater.

Kjapp oppfriskning av mattekunnskapene: Et kvadratall er det du får når du ganger et heltall med seg selv. 36 er for eksempel et kvadrattall, i og med at 6 ganger 6 blir 36. Kvadrattallene mellom 1 og 10.000 blir dermed 1 (1 ganger 1), 4 (2 ganger 2), 9 (3 ganger 3) og så videre opp til 10.000 (100 ganger 100).

To av de 2691 tallene som kan skrives som en sum av to kvadrater blir da for eksempel 5 (1 ganger 1 + 2 ganger 2) og 13 (2 ganger 2 pluss 3 ganger 3).

Hvis dette hadde vært tilfeldige hendelser hadde du hatt gode sjanser for å finne en overlapp. Hvis du derimot ser på samme ligning med n=3 kan bare 202 tall opp til 10.000 skrives som summen av to tredjepotenser, og 21 tall er tredjepotenser.

– Jo høyere potens du har, jo sjeldnere blir de to sidene av likheten, forklarer Sletsjøe.

Og på n=3 er det altså stopp, x³ + y³ = z³ er uløselig for heltall. Akkurat denne var ikke så vanskelig å bevise, det gjorde Leonhard Euler allerede på 1700-tallet. Og Fermat kom selv med beviset for n=4.

– På 1800-tallet hadde man funnet bevis for mange forskjellige potenser, noen av bevisene var svært enkle. Problemet var at man aldri fant et bevis som tok for seg alle potensene samtidig.

Kurver og former

For å forstå hvordan Wiles etter hvert klarte å bevise Fermats siste teorem må vi se nærmere på to ting: elliptiske kurver og modulære former.

En elliptisk kurve er en ligning på formen y² = x³ + ax+ b, der a og b er konstanter. Disse ligningene ble brukt til å berengde lengden av elliptiske baner, for eksempel i sammenheng med planeters bevegelser.

Modulære former er langt mer abstrakt. I bakgrunnstoffet fra Det Norske Vitenskapsakademiet beskrives de som en viss type avbildning på en viss type graf som oppviser et ekstremt høyt antall symmetrier.

– Du kan tenke på modulære former som geometriske mønstre. For disse formene er det et fasitsvar på hvilke mønstre som er vakre og ikke, det blir litt som med toner som utgjør harmonier, sier Sletsjøe.

• Les: Den vakreste teorien

På femtitallet oppdaga Yutaka Taniyama og Goro Shimura en sammenheng mellom elliptiske kurver og modulære former. De så at hver elliptiske kurve kunne knyttes til sin egen modulære form, men hverken de eller noen andre klarte å bevise det.

I 1984 knytta tyskeren Gerhard Frey denne sammenhengen til Fermats siste teorem. Han mente å se at hvis man kunne bevise Taniyama-Shimura-formodninga, så ville også Fermats siste teorem være bevist. Problemet var bare at han ikke klarte å bevise dette.

Det klarte derimot amerikaneren Ken Ribet to år senere. Nå var det altså nok å bevise Taniyama-Shimura-formodninga, noe som ble ansett som enklere enn å bevise Fermats siste teorem på annet vis.

– Jeg måtte bare løse det

Her kommer Andrew Wiles inn. Som tiåring fant han i 1963 ei bok om Fermats siste teorem på biblioteket i Cambridge, og ble umiddelbart fascinert.

– Dette var et problem som selv en tiåring kunne forstå, men som ingen hadde klart å løse til tross for at matematikere hadde prøvd i over 300 år. Jeg visste at jeg aldri kunne slippe det, jeg måtte bare løse det, sa Wiles til PBS i 2000.

Han jobba mye med det som tenåring, men kom ingen vei. Da Ribet i 1986 beviste at det var nok å bevise Taniyama-Shimura-formodninga, forandra ting seg. Wiles hadde på dette tidspunktet rukket å bli ekspert på både elliptiske kurver og modulære former, og trakk seg i all hemmelighet tilbake for å jobbe alene med det berømte problemet.

• Les: Babylonerne regna ut Jupiters bane

Etter sju år trodde han han hadde løst det, og bestemte seg for å offentliggjøre løsninga på et seminar i Cambridge. Han presenterte beviset til stor jubel fra de fremmøtte, men senere samme år fant noen en feil i Wiles' bevis.

Wiles ga ikke opp, og etter nok et år med arbeid fikk han retta opp feilen. I 1995 ble Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem publisert i Annals of Mathematics. Fermats siste teorem var endelig bevist.

Men var det det samme beviset som Fermat selv hevda å ha funnet? Nei, sier Wiles selv.

– Fermat kunne aldri ha bevist det på denne måten. Det er et tjuende århundre-bevis, det kunne ikke vært gjort i det nittende århundre engang, langt mindre i det syttende. Jeg tror ikke Fermat hadde noe bevis, jeg tror bare han trodde han hadde det.

– Egentlig ganske barnslig

Matematikken er full av forskjellige teoremer som ikke har blitt bevist, hvorfor har akkurat dette teoremet blitt så kjent? Vi spør Sletsjøe:

– Det er egentlig ganske barnslig, for jeg tror det i stor grad handler om denne kommentaren han skrev i margen. Resultatet i seg selv er egentlig ikke veldig betydningsfullt.

Fermats margskribling har i så fall gitt god popkulturell avkastning, teoremet dukker stadig vekk opp på TV og i skjønnlitteratur. Både Homer Simpson og Lisbeth Salander har brynt seg på problemet som også får skjermtid i Star Trek og Dr. Who.

Selv om teoremet isolert sett kanskje ikke er så viktig, mener Sletsjøe at det på en god måte illustrerer mystikken knytta til tallene.

– Vi tror vi forstår hva tall er, men vi gjør ikke det. Det er spesielt mange mysterier knytta til addisjon og multiplikasjon. Alle mysterier vi har hatt med tall helt siden mennesket begynte å telle, baserer seg på motsetningen mellom addisjon og multiplikasjon, at de ødelegger for hverandre. Fermat er et typisk eksempel på dette.

Wiles har fått massevis av matematikkpriser etter at han løste det gjenstridige problemet. Nå får han Abelprisen, men det er ikke for å ha løst Fermats siste teorem. Han får prisen for å ha bevist Taniyama-Shimura-formodninga.

– For å bevise Fermats siste teorem var det to ingredienser som var nødvendige. Du måtte bevise Taniyama-Shimura-formodninga, og du måtte bevise Freys formodning om at bevis for Taniyama-Shimura-formodninga også ville bevise Fermats siste teorem.

Ken Ribet beviste det siste, Andrew Wiles beviste det første. Men betyr dette at Ken Ribet nå ville ha fått Abelprisen hvis Andrew Wiles hadde lagt frem sitt bevis først?

– Hvis rekkefølgen hadde vært omvendt tror jeg begge to ville fått prisen. Men det er ikke noe tvil om at Taniyama-Shimura-formodninga er viktigere enn Freys formodning.

Han sier at førstnevnte formodning er en dypere forbindelse, at den ligger så langt nede i materien at den er veldig vanskelig å få øye på.

– Jo dypere forbindelser du avdekker, jo mer forstår du av verden.

Andrew Wiles forstår mye av verden. Og nå har han fått Abelprisen.