Ifølge øyenvitner var det minst tre angripere som tok seg inn i banken, som raskt ble omringet av store politistyrker.
Angriperne forskanset seg i banklokalet og det kunne høres flere eksplosjoner og skuddsalver fra området.
Kriminalsjef Sayed Abdul Ghafar Sayedzada sier til nyhetsbyrået AFP at tre angripere er drept inne i banklokalet.
Les også:
– Taliban-kampanje før valget
En talsmann for Taliban hevder at aksjonen mot banken er ledd i en kampanje for å skape problemer i forkant av torsdagens presidentvalg i landet, mens en talsmann for politiet hevder at det er snakk om et mislykket bankran utført av kriminelle.
Torsdag skal Afghanistans 17 millioner registrerte velgere velge landets nye president og 420 representanter fordelt på 34 valgdistrikt.
Men Taliban truer med angrep for å forstyrre valgprosessen og har oppfordret folk til å boikotte valget.
Tirsdag ble åtte mennesker drept og over 50 såret av en selvmordsbomber i Kabul, og presidentpalasset og hovedpolitistasjonen i byen ble utsatt for granatangrep.
FNs generalsekretær Ban Ki-moon har oppfordret alle de afghanske velgerne til å gå til valgurnene for å styrke demokratiet i Afghanistan og at alle skulle bidra til at valget skal gå så smertefritt som mulig.
Les også: