Ukrainas president Volodymyr Zelenskyj har frem til nå ikke nevnt offensiven i sine daglige videotaler, men han har hyllet de ukrainske styrkenes evne til å overraske.
Lørdag kveld sier Zelenskyj at operasjonen er en del av Kyivs innsats for å gjenopprette rettferdighet etter Russlands invasjon i 2022.
– Ukraina beviser at vi faktisk kan gjenopprette rettferdighet og sikre nødvendig press på angriperen, sa han i talen.
Zelenskyj takker også alle militære styrker som gjør offensiven mulig. I talen takker han også allierte for nye hjelpepakker til Ukraina.
De ukrainske styrkene gikk inn i Russland tirsdag.
Russland bekrefter kamper
Lørdag morgen bekreftet det russiske forsvarsdepartementet at det fortsatt pågår kamper på russisk territorium.
De russiske styrkene bruker både artilleri og luftangrep for å slå tilbake de ukrainske styrkene, ifølge en uttalelse fra det russiske forsvarsdepartementet lørdag formiddag som de internasjonale nyhetsbyråene AFP og Reuters gjengav.
Den overraskende ukrainske bakkeinvasjonen startet på tirsdag morgen, da ukrainske styrker tok seg over grensen og gikk inn i den vestlige delen av Kursk-regionen.
Reuters skriver at kampene skal pågå mellom 10 og 20 kilometer inne på russisk territorium.
Ifølge uttalelsen fra forsvarsdepartementet er kampene konsentrert rundt de tre landsbyene Malaya Loknya, Olgovka og Ivashkovskoye.
Amerikanske Institute of Study of War, som sammenholder satellittbilder med andre kilder, mener å se at de ukrainske styrkene har trengt minst 13 kilometer inn på russisk side.
Ukrainske myndigheter er fremdeles tause om det som pågår. Ingen kommentarer fra offisielt hold er kommet.
Fredag kveld sa imidlertid president Volodymyr Zelenskyj at han var blitt informert av forsvarsledelsen om operasjoner som foregår i områder som Russland bruker til å angripe Ukraina.
Anti-terrortiltak langs grensen
Russland innførte fra midnatt det de betegner som antiterrortiltak i Kursk og to andre grensefylker, Brjansk og Belgorod.
Dette innebærer blant annet tvangsforflytning av innbyggere, kontroll med trafikk, økt sikkerhet rundt viktige steder, avlytting av telefoner og kontroll av sosiale medier. Personer med over 10.000 følgere registrere seg hos myndighetene.
Lørdag ettermiddag opplyste lokale myndigheter på en pressekonferanse at flere enn 76.000 personer er flyttet fra Kursks grenseområder til «tryggere steder». Det melder det statseide russiske nyhetsbyrået Tass.
Det franske nyhetsbyrået AFP meldte noen timer tidligere at minst 16.000 personer hadde bedt om hjelp til å komme seg unna. Ekstratog til hovedstaden Moskva er satt opp for alle som ønsker å dra.
– Krigen har kommet til oss, sa en kvinne fra grensetraktene som ikke ønsket å oppgi navnet sitt til AFP på en jernbanestasjon i Moskva.
Ukraina på sin side har gitt beskjed om at rundt 20.000 personer i Sumy fylke, som grenser til Kursk, vil bli evakuert.
Fredag ettermiddag meldte det russiske nyhetsbyrået Interfax at det russiske forsvaret var i ferd med sende reservestyrker og andre forsterkninger til Kursk, i forsøk på å stanse det ukrainske angrepet.
Militærkolonner med rakettsystemer av typen Grad, artilleri og stridsvogner var på vei til området, skrev nyhetsbyrået.
Bekymring for nytt atomkraftverk
Kampene i Kursk-regionen har ført til bekymring hos Det internasjonale atomenergibyrået (IAEA).
For mindre en 50 kilometer fra grensen ligger Kursk atomkraftverk.
IAEAs generaldirektør Rafael Grossi ba fredag både Ukraina og Russland om å utvise forsiktighet for å hindre en ulykke ved anlegget.
Russiske atommyndigheter hevder lørdag at den ukrainske bakkeoffensiven utgjør en direkte trussel mot Kursk atomkraftverk, som forsyner deler av det sørlige Russland med strøm.
I uttalelsen fra Rosatom, som driver Russlands atomkraftverk heter det at det er reell fare for angrep og provokasjoner fra den ukrainske hæren.
Atomkraftanlegget ligger i byen Kurchatov.
Fredag ba ordfører Igor Korpunkov innbyggerne sine om å ikke få panikk, ifølge den ukrainske nettavisen Ukrainskaja Pravda.
På Telegram skrev han at kampene foregår noen titalls kilometer unna byen. Han understreket at han er i byen og at situasjonen er under kontroll.
Frem til nå har bekymringen for at krigshandlinger kan utløse en atomkatastrofe vært størst i Zaporizjzja i Ukraina.
Europas største atomkraftverk har vært okkupert av russiske styrker siden mars 2022.
Hyppige artilleri- og droneangrep rundt anlegget har ført til internasjonal bekymring. Selv om alle de seks reaktorene er stengt ned, er faren for radioaktiv-lekkasje uansett stor.
Det internasjonale atomenergibyrået har inspektører på atomkraftverket, for å overvåke det og raskt kunne slå alarm. IAEA-sjefen står i løpende kontakt med ukrainske og russiske myndigheter.
Lørdag formiddag diskuterte Rosatoms toppsjef Aleksej Likhachev situasjonen i Kurchatov med Grossi, skriver Reuters.
Kontroll over gassanlegg?
En video som ble lagt ut i ukrainske medier fredag skal vise ukrainske soldater som har tatt kontroll over et gassanlegg utenfor byen Sudzha, som ligger en drøy mil fra den russisk-ukrainske grensen.
Videoen, som først ble lagt ut på meldingstjenesten Telegram, er ikke verifisert av uavhengige kilder. Men Reuters refererer russiske kilder på at ukrainske styrker skal kontrollere deler av Sudzha.
I dag er gassanlegget i Sudzha det eneste stedet der russisk gass fortsatt blir eksportert gjennom Ukraina og til europeiske land. Lørdag ettermiddag fløt gassen fortsatt gjennom de store rørene, ifølge rapporter til Reuters.
Avtalen utløper i 2024 og ukrainerne har sagt at den ikke blir forlenget.
Hør podkasten fra utenriksredaksjonen: