Kontakten skal ha skjedd i året frem til valget, ifølge fire nåværende og tidligere amerikanske myndighetspersoner.
Amerikansk politi og etterretningsorganisasjoner avlyttet samtalene omtrent samtidig som de prøvde å finne bevis for at Russland prøvde å påvirke valget ved å hacke seg inn i Demokratenes nasjonalkomite, sier tre av kildene til New York Times.
Etterretningsorganisasjonene prøvde deretter å finne ut om Trump-kampanjen samarbeidet med Russland om hackingen eller andre forsøk på å påvirke valget.
De fire kildene sier til avisen at så langt er det ikke avdekket noe bevis for et slikt samarbeide.
Avsløringene kommer dagen etter at lederen for Det nasjonale sikkerhetsrådet, Michael Flynn, måtte gå av etter å ha holdt samtaler med den russiske ambassadøren skjult.
CNN har snakket med kilder som støtter New York Times historie.
Ifølge CNN var høytstående rådgivere til Trump i konstant kommunikasjon under valgkampen med russere som var kjent for USAs etterettningsvesen.
Snakket med Trumps valgkampleder
Også andre personer med tilknytning til Trump, som ikke var med i valgkampen hans, skal ha hatt samtaler med russisk etterretning.
En av personene som skal ha vært i kontakt med russisk etterretning var Paul Manafort, som var leder for Trumps valgkamp i flere måneder i fjor.
Manafort har tidligere arbeidet som politisk konsulent i Russland og Ukraina.
Selv avviser han i et telefonintervju tirsdag at han bevisst har snakket med medlemmer av russisk etterretning.
– Det er jo ikke sånn at disse folkene går rundt med et skilt der det står «jeg er en russisk etterretningsoffiser», sier Manafort.
Del av FBI-etterforskning
Telefonloggene og de avlyttede samtalene er ifølge avisen del av en stor mengde informasjon som det føderale politiet FBI går gjennom.
Samtalene skal først ha blitt avlyttet som en del av rutinemessig overvåking av Det nasjonale sikkerhetsbyrået, NSA. Det er organisasjonen som Edward Snowden avslørte at driver med utstrakt overvåking og avlytting.
FBI skal også ha sikret seg bank- og reiseinformasjon. og det fødere politiet skal også ha gjennomført avhør.
Hverken Det hvite hus eller FBI har vært villige til å kommentere opplysningene til New York Times.
Vil ha etterforskning
Den ledende Demokraten i etterretningskomiteen, Adam Schiff, sier til MSNBC at de er i tvil om FBI-sjefen vil bistå med en etterforskning.
– Jeg mener at Kongressen må etterforske dette. Det er en av Kongressens grunnleggende oppgaver, sier Schiff.
Russland avviser
Regjeringen i Russland avviser at det skal ha vært kontakt mellom Donald Trumps medarbeidere og russisk etterretning.
– Dette er en avisartikkel som ikke er basert på noen fakta, hevder regjeringens pressetalsmann Dmitrij Peskov, ifølge nyhetsbyrået Reuters.
I en telefonkonferanse med pressefolk onsdag kom han også med en oppfordring om ikke å tro på opplysninger fra anonyme kilder.
