Begge mediene viser til anonyme kilder som skal ha god kjennskap til denne saken.
Kildene har ikke fullmakt til å uttale seg offentlig om utviklingen.
Før de første arrestordrene kan utstedes, må siktelsene presenteres for en gruppe dommere.
Dommerne må avgjøre om det juridiske grunnarbeidet er godt nok, eller om det kreves flere bevis.
Bortføring av barn
Den første av de to rettssakene gjelder anklagene om at Russland har bortført tusenvis av ukrainske barn og ungdommer.
Dette kan bli den første saken som Den internasjonale straffedomstolen setter i gang mot Russland etter at russerne startet krigen mot Ukraina.
VISER FRAM: En familie i Russland har tatt til seg flere ukrainske barn.
Minst 6000 barn fra Ukraina skal ha blitt holdt i 43 leire i Russland.
Det går fram av en rapport som ble offentliggjort av Yale University og The conflict observatory program of the US State departement.
Ukrainske myndigheter sa i mars at det kan dreie seg om mer enn 16 000 bortførte barn.
– Det har vært mye fokus på denne saken. Det å forfølge den som en forbrytelse vil føre til masse reaksjoner, sier Mark Ellis til New York Times. Han leder den internasjonale advokatforeningen.
Han understreker at det er forbudt å sende sivile over en grense med makt, og under en konflikt kan det være en krigsforbrytelse.
Prioritert sak
Russiske myndigheter har ikke gjort noen hemmelighet av at mange ukrainske barn har kommet til Russland.
De har omtalt det som skjer som en humanitær aksjon for å beskytte foreldreløse eller forlatte ukrainske barn.
I UKRAINA: Aktor ved Den internasjonale straffedomstolen, Karim Khan (t.h.), var sist måned i Kyiv.
Foto: VALENTYN OGIRENKO / ReutersAktor ved Den internasjonale straffedomstolen, Karim Khan, var sist måned i Kyiv.
Han sa da at ulovlig overføring av barn til Russland eller okkuperte områder i Ukraina har prioritet hos etterforskerne.
Ikke legitime mål
Den andre saken som domstolen forbereder, gjelder anklagene om at de russiske okkupasjonsstyrkene hele tiden angriper sivil infrastruktur. Det gjelder vannforsyning, gass og strømforsyning.
GRUSOM KRIG: Mange sivile mål har blitt rammet av russiske bomber og raketter i løpet av det året krigen har vart.
Foto: Evgeniy Maloletka / APDisse ligger langt fra kampsonen og ses ikke på som legitime militære mål.
Russiske myndigheter avviser at de angriper sivile mål, og hevder at hensikten med angrepene er å svekke ukrainernes kampevne.
Hvem blir anklaget?
Ifølge Reuters er det nå et kraftig press på domstolen i Nederland for å få fortgang i sakene.
New York Times spurte domstolen om hvem som kan bli siktet og fikk dette svaret:
– Vi diskuterer ikke pågående saker offentlig.
RUSSISK PROPAGANDA: På en plakat i Sevastopol på Krim-halvøya står det følgende: «Vesten trenger ikke Russland, vi trenger Russland».
Foto: ALEXEY PAVLISHAK / ReutersAvisa skriver at diplomater og eksperter mener at president Vladimir Putin kan bli tiltalt.
Domstolen anerkjenner ikke immunitet for statsoverhoder i saker som gjelder krigsforbrytelser, forbrytelser mot menneskeheten og folkemord.
Mulige snublesteiner
Det er ikke klart hvilke andre russiske ledere som kan bli tiltalt.
Den internasjonale straffedomstolen kan imidlertid ikke sette i gang saker mot anklagede som ikke er til stede. Og det er svært lite sannsynlig at Russland vil utlevere noen av sine eldre.
På vestlig side mener mange ledere at domstolen vil gå videre, fordi selv arrestordrer vil ha en betydelig symbolsk verdi.
Dessuten ønsker noen vestlige land og organisasjoner at det skal opprettes en ny internasjonal domstol. Der skal det blir mulig å dømme russiske ledere for å ha startet aggresjonskrigen mot Ukraina.
Følg utviklingen i NRKs Nyhetssenter: