De 13 ble bortført for åtte dager siden under en tur i den avsidesliggende regionen Afar.
Britene arbeider ved den britiske ambassaden i hovedstaden Addis Abeba, mens etiopierne jobbet som oversettere og sjåfører.
Etiopisk politi sa i dag at de har identifisert kidnapperne.
Men etiopiske myndigheter avviser at det er aktuelt å gå til militæraksjon for å redde gislene.
– De som er ansvarlig, blir nådd via andre kanaler, og vi håper at disse menneskene skal bli løslatt i god behold, sa den etiopiske utenriksministeren Seyoum Mesfin tidligere i dag.
I går opplyste Mesfin at de fem britene var sett i god behold.
Utenriksministeren sa til nyhetsbyrået AP at stammeledere nordøst i landet hadde sett at de bortførte var i god behold.
– Vi kan ikke opplyse om hvor de befinner seg, fordi vi tror det ville vært en trussel for deres sikkerhet, la han til da.
En lokal leder fra Afar-regionen, Ismael Ali Gardo, sa at det bortføte følget holdes av opprørere fra Afar-regionen på den eritreiske siden av grensa og ikke i fare.
– De er uskadde og trygge i Weima i Eritrea, sa han til Reuters.
Britiske myndigheter undersøker opplysningene om tilstanden til de bortførte.
Storbritannia skulle sende en stryke med spesialsoldater fra SAS (Special Air Service) for en eventuell frigjøringsaksjon. Foreløpig har det vært satset på diplomatiske midler.
Eritreiske myndigheter sier de offisielt ikke har noe med saken å gjøre.
- Dette er noe som har skjedd i Etiopia og som foregår i Etiopia, sa Eritreas informasjonsminister Ali Abdu i går.