London-klubben fikk virkelig kjempe for avansement mot laget fra engelsk mesterskapsserie, men ble reddet to ganger av sene scoringer.
Kieran Richardson kvitterte til 1-1 i tilleggstiden før Norges landslagskaptein ble matchvinner og dagens helt i det 116. minuttet.
Damien Duff slo en corner, og Hangeland raget høyest i feltet.
– For å være ærlig er jeg ikke sikker på om det var mitt mål. Jeg bare kastet meg inn i situasjonen. Det betyr ingenting om det var jeg som scoret så lenge vi vant, og det klarte vi. Det var en god følelse etter en lang kveld på jobben, sa Hangeland til Fulhams nettsted etter kampen.
Kampen var målløs inntil Nathan Delfouneso gjorde 1-0 på pasning fra Stephen Crainey i det 82. minuttet.
Da lagene møttes i den opprinnelige kampen på Craven Cottage, reddet Giorgos Karagounis uavgjort for Fulham 10 minutter før slutt.
I FA-cupens 4. runde venter tøffere motstand for Hangeland & co. Vinneren av omkampen mellom Manchester United og West Ham tar imot Fulham 26. januar.