Enda et premiss satte de seg: De skulle komme tilbake til stedet der turen startet. Det viste seg å være umulig! Dette er en berømt grublegåte som går under navnet ”Broene i Kønigsberg”.

Trondheims broer

Dagens Trondheim er også en by med mange broer. Hva finner vi ut om vi går en slik tur her?

Bjørn Dundas, matematiker ved NTNU, blir med på eksperimentet og lover å ikke røpe svaret på forhånd. Vi starter ved Jernbanestasjonen og tar med alle broene rundt byens sentrum, men bare dem det går an å gå til fots over: Nidelven bru, Bakke bru, Brattøra bru, Jernbanebrua, Gamle Bybro, Elgeseter bru, Gangbrua, Nidarø Gangbru.

Noen timer og åtte broer senere, er vi ved Jernbanestasjonen igjen – men på feil side av elven! For å komme til turens utgangspunkt må vi gå over Jernbanebrua, men den har vi jo brukt før. Trondheim og fortidens Königsberg har altså noe felles: Det viser seg å være umulig å lykkes med prosjektet.

Leonard Euler

I 1736 forklarer matematikeren Leonard Euler hvorfor:

Leonard Euler

Hvis en slik tur skal være mulig må antall broer som fører til/fra hvert av landområdene turen skal innom være et partall – om vi ønsker å avslutte turen på samme sted som den startet. Dette viste seg å være en regel som gjelder for alle typer lignende problemstillinger. Dermed ble det matematikk av det.

Det som har vist seg interessant for ettertiden, er metoden Leonard Euler brukte. Han forenklet problemstillingen.

Matematiker Bjørn Dundas ved NTNU forklarer: Landområdene vi var innom kan forenkles til punkter, og broene som går mellom landområdene kan forenkles til linjer.

All annen informasjon, som for eksempel hvor langt det er mellom broene eller hvordan turløypa snor seg gjennom byen er irrelevant. Det er heller ikke interessant å bare telle antall broer. Det som har betydning for vår problemstilling er hvor mange linjer som fører til/fra hvert punkt.

Hva skjer hvis vi legger inn noen ekstra broer? Eller flere øyer med broforbindelser? Du kan jo prøve deg fram…

Topologi

På 1700-tallet var dette en helt ny måte å tenke matematisk på, som senere har utviklet seg til et eget felt - topologi.

Bjørn Dundas er topolog ved matematisk institutt, NTNU

Først på 1800-tallet, med matematikerne Riemann og Poincaré skjøt utviklingen av moderne topologi virkelig fart, men Leonard Euler og broene i Königsberg er det tidligste eksemplet på en slik tankemåte. Ved å se på problemets form ved skjære vekk alt annet enn den topologiske informasjonen, slik Euler åpnet opp for, kan vi analysere problemer som er mye mer komplekse enn det en tur over broer er.

Matematikerne kan studere mangedimensjonale problemstillinger, som populasjonsdynamikken i en innsjø, formen for alle mange mulige posisjoner en robotarm kan ha, eller de kan gjøre beregninger om verdensrommet, for å nevne noe.

Av Ragnhild Krogvig Karlsen,

Schrödingers katt torsdag 18. april 2002

AKTUELLE PEKERE - BROENE I KÖNIGSBERG OG TOPOLOGI