Daily Telegraph skrev sent mandag kveld at Giggs skal ha det midlertidige manageransvaret resten av sesongen.
Giggs har klubbrekorden for flest spilte kamper og skal lenge ha vært kritisk til Moyes selv om han har hatt en trenerrolle under skotten.
Nicky Butt, som tidligere spilte på midtbanen for United, blir Giggs' assistent. Han har vært i trenerapparatet til reservelaget.
- Les også: – Giggs vil være en enorm risiko
Halvannen uke siden
I britiske medier, blant annet The Sun, seiler den nederlandske landssjefen Louis van Gaal (62) nå opp som Uniteds førstevalg til å erstatte Moyes før neste sesong.
Louis van Gaal skal lede Nederland i sommerens VM og vil først kunne ta fatt på en eventuell United-jobb etter det.
62-åringen skal ha vært i samtaler med Manchester United allerede for halvannen uke siden, 11. april, ifølge den nederlandske avisen Telegraaf.
Neville: – Gi ham tid
Ryktene om Moyes' avgang spredte seg som ild i tørt gress 2. påskedag.
Flere britiske medier meldte at skotten ville få sparken i løpet av kort tid. Daily Telegraph skriver at det skjer tirsdag. Moyes skal ikke lenger ha tillit blant spillerne og har «mistet garderoben».
Av de få som mener at skotten bør få mer tid er tidligere United-spiller Gary Neville.
– Jeg mener at en person som får en seksårskontrakt fortjener tid, sa Neville som nå er fotballekspert for Sky Sports mandag.
– Jeg frykter for ham. Jeg har ikke snakket med noen i klubben i dag (mandag). Vanligvis kommenterer de ingenting, men de må avklare posisjonen hans raskt, sa Neville videre.
Ifølge The Telegraph er Moyes' seksårskontrakt verdt en årslønn på om lag 41 millioner kroner (fire millioner pund).
Svak sesong
Moyes overtok etter legendariske Alex Ferguson sist sommer. Han fikk en seksårskontrakt, men har hatt en tung debutsesong på Old Trafford.
United har fire kamper igjen av sesongen, men er uten sjanse til å havne blant de fire beste og få muligheten til spill i neste sesongs mesterliga. Rødtrøyene ligger på en skuffende sjuendeplass.
Søndag gikk klubben på et 0-2-tap mot Moyes' tidligere arbeidsgiver Everton. Klubbens gjenstående kamper er mot Norwich, Sunderland, Hull og Southampton.
Laget mislyktes også i de hjemlige cupene og ble slått ut i kvartfinalen i mesterligaen av tittelforsvarer Bayern München.